درسنامه آموزشی فصل سوم هندسه (3) کلاس دوازدهم ریاضی
درس 2: ضرب داخلی و ضرب خارجی بردارها
فرض کنید دو بردار $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2})$ و $\overrightarrow b = ({b_1},{b_2})$ همانند شکل داده شدهاند. میخواهیم زاویه بین این دو بردار $(\theta )$ را پیدا کنیم.
برای این منظور بردار تفاضل $\overrightarrow a - \overrightarrow b $ را نیز در شکل زیر رسم کردهایم تا مثلثی به طول اضلاع زیر بهدست آید.
$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} $
$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {b_1^2 + b_2^2} $
$\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{({a_1} - {b_1})}^2} + {{({a_2} - {b_2})}^2}} $
اکنون با استفاده از قضیه کسینوسها که سال گذشته آموختهاید میتوان نوشت.
${\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \theta \Rightarrow $
$\frac{1}{2}({\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2}) = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \theta \Rightarrow $
$\cos \theta = \frac{{\frac{1}{2}({{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}^2})}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}}$
از طرفی صورت کسر فوق را میتوان با توجه به اندازههای اضلاع مثلث که قبلاً محاسبه شدهاند بهصورت زیر ساده کرد.
$\frac{1}{2}({\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2}) = \frac{1}{2}\left( {a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - {{({a_1} - {b_1})}^2} - {{({a_2} - {b_2})}^2}} \right)$
$ = \frac{1}{2}(2{a_1}{b_1} + 2{a_2}{b_2}) = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$
پس عبارت (1) بهصورت زیر بهدست میآید.
$\cos \theta = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}}$
(رابطه فوق برای حالتی که دو بردار هم راستا باشند نیز برقرار است.)
با محاسبه عبارت سمت راست و حل معادله مقدار $0 \leqslant \theta \leqslant \pi $ بهدست میآید.
کمیتی که در صورت این کسر سمت راست است را معمولاً با $\overrightarrow a .\overrightarrow b $ نشان میٰدهند و به آن حاصل ضرب داخلی یا حاصل ضرب نقطهای دو بردار $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ میگویند. بنابراین میتوان نوشت.
$\cos \theta = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}}$
همچنین از روابط فوق معلوم است که
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \theta $
بهطور مشابه حاصل ضرب داخلی دو بردار در ${\mathbb{R}^3}$ نیز قابل تعریف است.
با اثباتی مشابه قبل میتوان نشان داد که اگر $0 \leqslant \theta \leqslant \pi $ زاویه بین دو بردار ناصفر $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ در ${\mathbb{R}^3}$ باشند آنگاه
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow {\left| a \right|} \overrightarrow {\left| b \right|} \cos \theta $
از تعریف ضرب داخلی واضح است که اگر یکی از دو بردار $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ صفر باشند آنگاه $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$ هر چند که در این حالت زاویه $\theta $ بین دو بردار تعریف نمیشود.
خواص ضرب داخلی
1- $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a $ خاصیت جابهجایی
اثبات:
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} = {b_1}{a_1} + {b_2}{a_2} + {b_3}{a_3} = \overrightarrow b .\overrightarrow a $
2- $\overrightarrow a .\overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$
اثبات:
$\overrightarrow a .\overrightarrow a = {a_1}{a_1} + {a_2}{a_2} + {a_3}{a_3} = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$
3- $\overrightarrow a .(\overrightarrow b + \,\overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\,\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c $ خاصیت توزیعپذیری
اثبات:
$\overrightarrow a .(\overrightarrow b + \,\overrightarrow c ) = {a_1}({b_1} + {c_1}) + {a_2}({b_2} + {c_2}) + {a_3}({b_3} + {c_3})$
$ = {a_1}{b_1} + {a_1}{c_1} + {a_2}{b_2} + {a_2}{c_2} + {a_3}{b_3} + {a_3}{c_3}$
$ = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} + {a_1}{c_1} + {a_2}{c_2} + {a_3}{c_3}$
$ = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c $
4- برای دو بردار غیر صفر $\overrightarrow a $ و $\overrightarrow b $:
$a$ و $b$ بر هم عمود هستند $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow $
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \theta = 0\mathop \Leftrightarrow \limits_{\left| {\overrightarrow b } \right| \ne 0}^{\left| {\overrightarrow a } \right| \ne 0} \cos \theta = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}} \theta = \frac{\pi }{2}$
5- $\overrightarrow a .\overrightarrow o = 0\,,\,\overrightarrow o .\overrightarrow a = 0$
6- $\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| \leqslant \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|$ (نامساوی کشی شوارتز) منظور از $\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|$ قدر مطلق مقدار $\overrightarrow a .\overrightarrow b $ است.
$\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| = \left| {\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \theta } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\left| {\cos \theta } \right| \leqslant \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|$
که در آخرین نامساوی از $\left| {\cos \theta } \right| \leqslant 1$ استفاده شده است.
تصویر قائم بردار $\overrightarrow a $ بر بردار $\overrightarrow b $
دو بردار غیر صفر $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ را که زاویه بین آنها $\theta $ است با فرض $0 \lt \theta \lt \frac{\pi }{2}$ در نظر میگیریم. میخواهیم تصویر قائم بردار $\overrightarrow a $ را بر امتداد بردار $\overrightarrow b $ که آن را با $\overrightarrow {a'} $ نمایش دادهایم بهدست آوریم. از روی شکل مشخص است که برای یک $r$ حقیقی $\overrightarrow {a'} = r\overrightarrow b $ .
با توجه به اینکه بردار تفاضل $\overrightarrow a $ از $\overrightarrow {a'} $ بر بردار $\overrightarrow b $ عمود است. خواهیم داشت:
$(\overrightarrow a - \overrightarrow {a'} ).\overrightarrow b = 0 \Rightarrow (\overrightarrow a - r\overrightarrow b ).\overrightarrow b = 0 \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b - r\overrightarrow b .\overrightarrow b = 0 \Rightarrow r = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}$
بنابراین بردار تصویر قائم $\overrightarrow a $ بر امتداد بردار $\overrightarrow b $ بهصورت زیر بهدست میآید.
$\overrightarrow {a'} = r\overrightarrow b = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}\overrightarrow b $
کار در کلاس (صفحه 80 کتاب درسی)
1- تصویر بردار $i = (1,0,0)$ بر امتداد بردار $j = (0,1,0)$ را بیابید.
$\overrightarrow i - \left( {1,0,0} \right),\overrightarrow j - (0,1,0) \Rightarrow \overrightarrow i ,\overrightarrow j - 1 \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times 0 - 0,{\overrightarrow j ^2} - {0^2} + {1^2} + {0^2} - 1$
$\overrightarrow {i'} = \frac{{\overrightarrow i .\overrightarrow j }}{{{{\overrightarrow j }^2}}}\overrightarrow j = \frac{0}{1}\left( {0,1,0} \right) = (0,0,0) = \overrightarrow o $
2- نشان دهید که اگر دو بردار $\overrightarrow a $ و $\overrightarrow b $ بر هم عمود باشند، آنگاه تصویر یکی بر امتداد دیگری بردار صفر میشود.
فرض کنیم $\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) \ne \overrightarrow o $ و $\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right) \ne \overrightarrow o $ و $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ در این صورت $\overrightarrow a ,\overrightarrow b = 0$ و تصویر $\overrightarrow a $ بر $\overrightarrow b $ برابر است با
$\overrightarrow a = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\overrightarrow b }^2}}}\overrightarrow b = \frac{0}{{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}\left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right) = (0,0,0) = \overrightarrow o $
3- نشان دهید که اگر دو بردار $\overrightarrow a $ و $\overrightarrow b $ در یک راستا باشند آنگاه تصویر $\overrightarrow a $ بر $\overrightarrow b $ برابر خود $\overrightarrow a $ میشود.
فرض کنیم $\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) \ne \overrightarrow o $ و $\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right) \ne \overrightarrow o $ و $\overrightarrow a = a\overrightarrow b \ne \overrightarrow o $ در این صورت
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = k\overrightarrow b .\overrightarrow b = k{\overrightarrow b ^2}$
پس تصویر $\overrightarrow a $ بر $\overrightarrow b $ برابر است با
${\overrightarrow a ^2} = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\overrightarrow b }^2}}}\overrightarrow b = \frac{{k{{\overrightarrow b }^2}}}{{{{\overrightarrow b }^2}}}\overrightarrow b = k\overrightarrow b = \overrightarrow a $
4- هر یک از حالات زیر را با شکلهای داده شده نظیر کنید.
|
الف) $\overrightarrow a .\overrightarrow b \gt 0$ 
|
ب) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$ 
|
پ) $\overrightarrow a .\overrightarrow b \lt 0$ 
|
|
ت) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| a \right|\left| b \right|$ 
|
ث) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| a \right|\left| b \right|$ 
|
|
ضرب خارجی
در بخش قبل دیدیم که ضرب داخلی دو بردار یک عدد حقیقی است. میتوان ضرب دو بردار را به گونهای تعریف کرد که حاصل ضرب آنها همواره یک بردار باشد.
اگر $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2},{a_3})$ و $\overrightarrow b = ({b_1},{b_2},{b_3})$ دو بردار غیرصفر و $\theta $ زاویه بین آنها باشد اندازه بردار $\overrightarrow a \times \overrightarrow b $ میشود:
$\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = {\left| {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right|^2}$
$ = {({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2})^2} + {({a_3}{b_1} - {a_1}{b_3})^2} + {({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})^2}$
$ = a_2^2b_3^2 - 2{a_2}{a_3}{b_2}{b_3} + a_3^2b_2^2 + a_1^2b_3^2 - 2{a_1}{a_3}{b_1}{b_3} + $
$a_3^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 - 2{a_1}{a_2}{b_1}{b_2} + a_2^2b_1^2$
$ = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - {({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3})^2} = {\left| a \right|^2}{\left| b \right|^2} - {(a.b)^2}$
$ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}{\cos ^2}\theta = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}(1 - {\cos ^2}\theta ) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}{\sin ^2}\theta = $
${(\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\sin \theta )^2}$
بنابراین
$\left| {a \times b} \right| = \left| a \right|\left| b \right|\sin \theta $
از هندسه سال قبل میدانیم که سمت راست عبارت فوق برابر است با مساحت متوازی الاضلاعی که اندازه اضلاع آن برابر $\left| {\overrightarrow a } \right|,\left| {\overrightarrow b } \right|$ است.
همانطور که مشاهده شد حاصل ضرب خارجی دو بردار $\overrightarrow i $ و $\overrightarrow j $ برابر با بردار $\overrightarrow k $ شد که بر هر دوی $\overrightarrow i $ و $\overrightarrow j $ عمود میباشد. ضرب خارجی دارای خواص زیر میباشد.
خاصیت 1: فرض کنید $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2},{a_3})$ و $\overrightarrow b = ({b_1},{b_2},{b_3})$ دو بردار باشند. در این صورت
$\overrightarrow a .(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow b .(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) = 0$
این خاصیت گویای این مطلب است که $\overrightarrow b \bot \overrightarrow a \times \overrightarrow b $ و $\overrightarrow a \bot \overrightarrow a \times \overrightarrow b $
بنابراین با توجه به آنچه تاکنون بهدست آمده است میتوان گفت ضرب خارجی دو بردار، برداری است عمود بر آنها که اندازه آن از لحاظ عددی برابر با مساحت متوازیالاضلاع ایجاد شده توسط آن دو بردار است. در واقع میتوان نشان داد که بردار حاصل از ضرب خارجی دو بردار بر صفحه شامل آن دو بردار عمود است.
اثبات این خاصیت در ادامه میآید.
اثبات:
$\overrightarrow a .(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) = {a_1}({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}) + {a_2}({a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}) + {a_3}({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}) = 0$
$\overrightarrow b .(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) = {b_1}({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}) + {b_2}({a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}) + {b_3}({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}) = 0$
میتوان نشان داد که برای سه بردار $\overrightarrow i $ و $\overrightarrow j $ و $\overrightarrow k $ روابط زیر برقرار است:
$\overrightarrow i \times \overrightarrow j = \overrightarrow k \,\,\,\,,\,\,\,\,\overrightarrow j \times \overrightarrow k = \overrightarrow i \,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow k \times \overrightarrow i = \overrightarrow j $
$\overrightarrow j \times \overrightarrow i = - \overrightarrow k \,\,\,\,,\,\,\,\,\overrightarrow k \times \overrightarrow j = - \overrightarrow i \,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow i \times \overrightarrow k = - \overrightarrow j $
معمولاً این روابط را به صورت نمودار چرخشی نیز نمایش میدهند.
خاصیت 2: $\overrightarrow a \times \overrightarrow b = - \overrightarrow b \times \overrightarrow a $ .
خاصیت 3: $\overrightarrow a \times \overrightarrow a = \overrightarrow o $ .
خاصیت 4: اگر $r$ عددی حقیقی باشد، آنگاه: $r\overrightarrow a \times \overrightarrow b = r(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) = \overrightarrow a \times r\overrightarrow b $ .
خاصیت 5: برای سه بردار $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ داریم:
$\overrightarrow a \times (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow c $
$(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) \times \overrightarrow c = (\overrightarrow a \times \overrightarrow c ) + (\overrightarrow b \times \overrightarrow c )$
خاصیت 6: دو بردار غیر صفر $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ با هم موازی هستند اگر و فقط اگر $\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow o $ .
اثبات:
$\theta = \pi \Leftrightarrow \overrightarrow a ||\overrightarrow b $ یا $\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow o \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\sin \theta = 0 \Leftrightarrow \sin = 0 \Leftrightarrow \theta = 0$
حجم متوازی السطوح
اگر $\overrightarrow a $، $\overrightarrow b $ و $\overrightarrow c $ سه بردار غیر واقع در یک صفحه باشند آنگاه میتوان به کمک آنها متوازی السطوحی همانند شکل زیر تولید کرد.
همانطور که از شکل مشخص است ارتفاع این متوازی السطوح برابر است با اندازه تصویر قائم بردار $\overrightarrow a $ بر روی بردار $\overrightarrow b \times \overrightarrow c $ یعنی
$ = \frac{{\overrightarrow a .(\overrightarrow b \times \overrightarrow c )}}{{{{\left| {\overrightarrow b \times \overrightarrow c } \right|}^2}}}(\overrightarrow b \times \overrightarrow c )$ ارتفاع
با توجه به اینکه قاعده این متوازیالسطوح توسط بردارهای $\overrightarrow b $ و $\overrightarrow c $ تولید شده پس مساحت آن برابر است با ${\left| {\overrightarrow b \times \overrightarrow c } \right|}$. با استفاده از دترمینان نیز میتوان مساحت متوازیالاضلاع پدید آمده توسط دو بردار $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2},{a_3})$ و $\overrightarrow b = ({b_1},{b_2},{b_3})$ بهصورت زیر بهدست آورد:
$S = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right|$ مساحت $\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left| \begin{gathered}
i\,\,\,\,\,\,j\,\,\,\,\,\,\,\,k \hfill \\
{a_1}\,\,\,\,\,{a_2}\,\,\,\,\,\,{a_3} \hfill \\
{b_1}\,\,\,\,\,{b_2}\,\,\,\,\,\,{b_3} \hfill \\
\end{gathered} \right| \Rightarrow $
بنابراین حجم متوازی السطوح بهصورت زیر بهدست میآید:
اندازه ارتفاع $ \times $ مساحت قاعده $ = $ حجم متوازی السطوح
$ = \left| {\overrightarrow b \times \overrightarrow c } \right|\frac{{\overrightarrow a .(\overrightarrow b \times \overrightarrow c )}}{{{{\left| {\overrightarrow b \times \overrightarrow c } \right|}^2}}}(\overrightarrow b \times \overrightarrow c ) = \left| {\overrightarrow a .(\overrightarrow b \times \overrightarrow c )} \right|$
از شکل فوق واضح است که اگر سه بردار در یک صفحه قرار بگیرند آنگاه حجم متوازیالسطوح برابر صفر است و از رابطه بالا نیز این مطلب قابل اثبات است. لذا در این حالت خاص نیز حجم متوازیالسطوح برابر است با $\left| {\overrightarrow a .(\overrightarrow b \times \overrightarrow c )} \right|$ . حجم متوازیالسطوح پدید آمده توسط سه بردار $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2},{a_3})$ ، $\overrightarrow b = ({b_1},{b_2},{b_3})$ و $\overrightarrow c = ({c_1},{c_2},{c_3})$ با استفاده از دترمینان زیر نیز بهدست میآید.
$ = V = \left| K \right|$ حجم $K = \left| \begin{gathered}
{a_1}\,\,\,\,\,\,{a_2}\,\,\,\,\,\,\,{a_3} \hfill \\
{b_1}\,\,\,\,\,\,{b_2}\,\,\,\,\,\,\,{b_3} \hfill \\
{c_1}\,\,\,\,\,\,{c_2}\,\,\,\,\,\,\,{c_3} \hfill \\
\end{gathered} \right| \Rightarrow $
یا $K = a.(b \times c)$ .
اگر $K = 0$ در این صورت چه نتیجهای میگیرید؟
پیشتر اشاره شد که اگر سه بردار ${\overrightarrow b }$ ، ${\overrightarrow a }$ و ${\overrightarrow c }$ در یک صفحه باشند آنگاه حجم متوازیالسطوح و نیز $\left| {\overrightarrow a .(\overrightarrow b \times \overrightarrow c )} \right|$ برابر صفر میشود. عکس این مطلب نیز صادق است و از آن برای بررسی اینکه سه بردار داده شده در یک صفحه هستند یا نه استفاده میشود.
تمرین (صفحه 84 کتاب درسی)
1- برای هر یک از بردارهای $\overrightarrow a $ و $\overrightarrow b $ که در زیر آمده است تصویر قائم $\overrightarrow a $ بهدست آورید.
الف) $\overrightarrow a = (2, - 1,2)$ ، $\overrightarrow b = i$
$\overrightarrow a = \left( {2, - 1,2} \right),\overrightarrow b = \left( {1,0,0} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = $
$2 \times 1 + ( - 1) \times 0 + 2 \times 0 = 2,{\overrightarrow b ^2} = {1^2} + {0^2} + {0^2} = 1$
$\overrightarrow {a'} = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\overrightarrow b }^2}}}\overrightarrow b = \frac{2}{1}\left( {1,0,0} \right) = \left( {2,0,0} \right)$
ب) $\overrightarrow a = (2,3,1)$ ، $\overrightarrow b = (3,2,1)$
$\overrightarrow a = \left( {2,3,1} \right),\overrightarrow b = \left( {3,2,1} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = $
$2 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1 = 13,{\overrightarrow b ^2} = {3^2} + {2^2} + {1^2} = 14$
$\overrightarrow {a'} = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\overrightarrow b }^2}}}\overrightarrow b = \frac{{13}}{{14}}\left( {3,2,1} \right) = \left( {\frac{{39}}{{14}},\frac{{26}}{{14}},\frac{{13}}{{14}}} \right)$
پ) $\overrightarrow a = (1,1,0)$ ، $\overrightarrow b = ( - 1,2,4)$
$\overrightarrow a = (1,1,0),\overrightarrow b = ( - 1,2,4) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 1 \times ( - 1) + 1 \times 2 + 0 \times 4 = 1,{\overrightarrow b ^2} = $
${( - 1)^2} + {2^2} + {4^2} = 21$
$\overrightarrow {a'} = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\overrightarrow b }^2}}}\overrightarrow b = \frac{1}{{21}}\left( { - 1,2,4} \right) = \left( {\frac{{ - 1}}{{21}},\frac{2}{{21}},\frac{4}{{21}}} \right)$
2- فرض کنید $\overrightarrow b $ ، $\overrightarrow a $ و $\overrightarrow c $ بردارهایی باشند به ترتیب به طولهای 1 و 2 و 3 با این خاصیت که $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow o $ . مقدار $\overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow c + \overrightarrow c .\overrightarrow a = 0$ را محاسبه کنید.
$\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\left| {\overrightarrow b } \right| = 1,\left| {\overrightarrow c } \right| = 3$
$\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow o \xrightarrow{{.\overrightarrow a }}{\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c = 0\,\,\,\,\,\,(1)$
$\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow o \xrightarrow{{.\overrightarrow b }}\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} + \overrightarrow b .\overrightarrow c = 0\,\,\,\,\,\,(2)$
$\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow o \xrightarrow{{.\overrightarrow c }}\overrightarrow a .\overrightarrow c + \overrightarrow b .\overrightarrow c + {\overrightarrow c ^2} = 0\,\,\,\,\,\,(3)$
$(1),(2),(3) \Rightarrow {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c + \overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} + \overrightarrow b .\overrightarrow c + \overrightarrow a .\overrightarrow c + \overrightarrow b .\overrightarrow c + {\overrightarrow c ^2} = 0$
$ \Rightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + 2\overrightarrow a .\overrightarrow c + 2\overrightarrow b .\overrightarrow c + {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} = 0 \Rightarrow $
$2(\overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c + \overrightarrow b .\overrightarrow c ) + 4 + 1 + 9 = 0$
$2(\overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c + \overrightarrow b .\overrightarrow c ) = - 14 \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c + \overrightarrow b .\overrightarrow c = - 7$
3- سه بردار $\overrightarrow b $ ، $\overrightarrow a $ و $\overrightarrow c $ مثال بزنید که برای آنها $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow a .\overrightarrow c $ ولی $\overrightarrow b \ne \overrightarrow c $ .
با فرض $\overrightarrow a = (1,1,1),\overrightarrow b = (3,2, - 1),\overrightarrow c = (5, - 2,1)$ داریم:
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1 \times 3 + 1 \times 2 + 1 \times ( - 1) = 4$
$\overrightarrow a .\overrightarrow c = 1 \times 5 + 1 \times ( - 2) + 1 \times 1 = 4$
$ \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow a .\overrightarrow c \,,\,\overrightarrow b \ne \overrightarrow c $
4- اگر $\overrightarrow b = (3, - 4,2)\,\,,\,\,\overrightarrow c = ( - 1,1,4)$ و $\overrightarrow a = (1, - 3,4)$ باشند آنگاه تصویر قائم $a$ بر امتداد $\overrightarrow b + \overrightarrow c $ را بهدست آورید.
$\overrightarrow a = (1, - 3,4),\overrightarrow b = (3, - 4,2),\overrightarrow c = ( - 1,1,4)$ پس:
$\overrightarrow d = \overrightarrow b + \overrightarrow c = (3, - 4,2) + ( - 1,1,4) = (2, - 3,6)$
$\overrightarrow a .\overrightarrow d = 1 \times 2 + ( - 3)( - 3) + 4 \times 6 = 2 + 9 + 24 = 35$
${\overrightarrow d ^2} = {2^2} + {( - 3)^2} + {6^2} = 4 + 9 + 36 = 49$
${\overrightarrow a ^2} = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow d }}{{{{\overrightarrow d }^2}}}\overrightarrow d = \frac{{35}}{{49}}(2, - 3,6) = \frac{5}{7}(2, - 3,6) = \left( {\frac{{10}}{7},\frac{{ - 15}}{7},\frac{{30}}{7}} \right)$
5- برداری عمود بر دو $\overrightarrow a = (1, - 3,2)\,\,,\,\,\overrightarrow b = ( - 2,1, - 5)$ بردار پیدا کنید.
$\overrightarrow a = (1, - 3,2),\overrightarrow b = ( - 2,1,5)$
$\overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left| \begin{gathered}
i\,\,\,\,\,\,j\,\,\,\,\,\,k \hfill \\
1\,\,\,\,\,\, - 3\,\,\,\,\,2 \hfill \\
- 2\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,5 \hfill \\
\end{gathered} \right| = 7\overrightarrow i - 9\overrightarrow j - 5\overrightarrow k \Rightarrow $
$\overrightarrow c = (7, - 9, - 5),\overrightarrow c \bot \overrightarrow a ,\overrightarrow c \bot \overrightarrow b $
6- سه بردار $\overrightarrow b $ ، $\overrightarrow a $ و $\overrightarrow c $ مثال بزنید که برای آنها $\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow a \times \overrightarrow c $ ولی $\overrightarrow b \ne \overrightarrow c $ . آیا امکان حذف در ضرب خارجی بردارها برقرار است؟ در این باره در کلاس بحث کنید.
با فرض $\overrightarrow c = ( - 1, - 2, - 3)$ و $\overrightarrow b = (2,4,6)$ و $\overrightarrow a = (1,2,3)$ داریم:
$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left| \begin{gathered}
i\,\,\,\,\,j\,\,\,\,\,k \hfill \\
1\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
2\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,6 \hfill \\
\end{gathered} \right| = \overrightarrow o \,\,\,\,\,,\overrightarrow a \times \overrightarrow c = \left| \begin{gathered}
\,i\,\,\,\,\,\,\,\,j\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \hfill \\
\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,\, - 3 \hfill \\
\end{gathered} \right| = \overrightarrow o $
$ \Rightarrow \overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow a \times \overrightarrow c ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow c $
7- بردارهای $\overrightarrow a $ و $\overrightarrow b $ مفروضاند بهطوری که $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3$، $\left| {\overrightarrow b } \right| = 26$ و $\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = 72$ . مقدار $a.b$ را محاسبه کنید.
$\left| {\,\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\,\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\sin \theta \Rightarrow 72 = 3 \times 26 \times \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{{12}}{{13}}$
$ \Rightarrow \cos \theta = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\theta } = \pm \sqrt {1 - \frac{{144}}{{169}}} = \pm \sqrt {\frac{{25}}{{169}}} = \pm \frac{5}{{13}}$
$ \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \theta = 3 \times 26 \times \left( { \pm \frac{5}{{13}}} \right) = \pm 30$
8- مساحت مثلثی که رئوس آن با نقاط $A = (3,5,7)$ و $B = (5,5,0)$ و $C = ( - 4,0,4)$ داده شده است را بیابید.
$A(3,5,7)\,,\,B(5,5,0)\,,\,C( - 4,0,4)$
$\overrightarrow {AB} = (2,0, - 7)\,,\,\overrightarrow {AC} = ( - 7, - 5, - 3)$
$\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| \begin{gathered}
\,\,i\,\,\,\,\,\,\,\,\,j\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \hfill \\
\,\,2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\, - 7 \hfill \\
- 7\,\,\,\,\,\,\, - 5\,\,\,\,\,\,\, - 3 \hfill \\
\end{gathered} \right| = - 35\overrightarrow i + 55\overrightarrow j - 10\overrightarrow k \Rightarrow $
$\left| {\,\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{( - 35)}^2} + {{55}^2} + {{( - 10)}^2}} = \sqrt {4350} $
${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\,\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{\sqrt {4350} }}{2}$
خواندنی (مجله ریاضی)
در این فصل با بردارها و خواص جالبی از آنها آشنا شدید. جالب است بدانید بردارها در حل بسیاری از مسائل هندسی که در سالهای گذشته با آنها آشنا شدهاید میتوانند کاربرد داشته باشند و اثبات برخی قضایا را راحتتر میکنند. در ادامه چند مثال از اینگونه مسائل آورده شده است که مطالعهٔ آنها به علاقهمندان پیشنهاد میگردد.
مثال 1: ثابت کنید پارهخطی که وسطهای دو ضلع یک مثلث را به هم وصل میکند، موازی ضلع سوم و مساوی نصف آن است.
اثبات:
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {MN} \Rightarrow $
$\overrightarrow {2MA} + 2\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {MN} \Rightarrow $
$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {MN} \Rightarrow $
$\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {MN} $
پس طول $BC$ دو برابر طول $MN$ است و چون $\overrightarrow {BC} $ مضربی از $\overrightarrow {MN} $ است لذا $BC$ موازی $MN$ است.
مثال 2: در مثلث $ABC$، $MN||BC$ ثابت کنید:
(قضیه تالس) $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}$
اثبات: فرض کنیم $BA = K.MA$ و $AC = K'.AN$ و $BC = K''.MN$
$\overrightarrow {BA} = K.\overrightarrow {MA} \,,\,\overrightarrow {AC} = K'.\overrightarrow {AN} \,,\,\overrightarrow {BC} = K''.\overrightarrow {MN} $
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {MN} \,\,,\,\,\,\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow $
$K.\overrightarrow {MA} + K'.\overrightarrow {AN} = K''.\overrightarrow {MN} = K''(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} ) = $
$K''.\overrightarrow {MA} + K''.\overrightarrow {AN} \Rightarrow (K - K'')\overrightarrow {MA} + (K' - K'').\overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0 $
ولی $a.\overrightarrow {MA} $ و $b.\overrightarrow {AN} $ بردارهایی در راستا و جهتهای مختلفاند، پس مجموع آنها نمیتواند صفر شود مگر آنکه:
$K - K'' = K' - K'' = 0$
و در نتیجه: $K = K' = K''$ و از آنجا حکم ثابت میشود.
مثال 3: ثابت کنید در هر مثلث، سه ارتفاع در یک نقطه همرساند.
اثبات: فرض کنیم ارتفاعهای $BH$ و $CH'$ همدیگر را در نقطهٔ $O$ قطع کنند. در این صورت داریم:
$BH \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\,\,,\,\,\,\overrightarrow {BO} .\overrightarrow {AC} = 0$
$CH' \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {CH'} .\overrightarrow {AB} = 0\,\,,\,\,\,\overrightarrow {CO} .\overrightarrow {AB} = 0$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AO} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AO} .(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \overrightarrow {AO} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AO} .\overrightarrow {AB} $
$ = (\overrightarrow {BO} - \overrightarrow {BA} ).\overrightarrow {AC} - (\overrightarrow {CO} - \overrightarrow {CA} ).\overrightarrow {AB} = \underbrace {\overrightarrow {BO} .\overrightarrow {AC} }_0 - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} $
$ - \underbrace {\overrightarrow {CO} .\overrightarrow {AB} }_0 + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} = 0$
بنابراین $AO \bot BC$ و لذا امتدا $AO$ هم بر $BC$ عمود است و ارتفاع رأس $A$ هم از $O$ میگذرد.
مثال 4: ثابت کنید هر چهارضلعی که دو ضلع مقابل آن با هم موازی و مساوی باشند، متوازی الاضلاع است.
اثبات: در شکل زیر با فرض اینکه $AB = CD$ و $AB||CD$ نتیجه میشود:
$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $ و در نتیجه:
$\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \Rightarrow \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OD} \Rightarrow \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} $
و بنابراین: $CB||DA$ و $CB = DA$ و $ABCD$ متوازیالاضلاع است.
مثال 5: ثابت کنید قطرهای هر متوازیالاضلاع یکدیگر را نصف میکنند.
اثبات:
$\left. \begin{gathered}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} \hfill \\
\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {OD} \hfill \\
\end{gathered} \right\} + $
$(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + (\underbrace {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} }_{\overrightarrow 0 }) = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \Rightarrow $
$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} $
اکنون استدلال را خودتان کامل کنید.